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申请注册谷歌邮箱账号和密码的步骤如下。
1、打开谷歌官网（www.google.com），点击右上角的“登录”按钮。
2、在登录页面选择“创建账号”。
3、按照页面提示填写相关信息，可以选择使用电话号码或邮箱进行注册，填写完成后点击“下一步”。
4、验证手机号或邮箱，按照要求接收验证码，填入验证码框并继续验证。
5、设置谷歌邮箱账号的用户名和密码，可以选择自定义用户名，并设置一个安全的密码，谷歌邮箱的用户名是唯一的，如果提示已被注册则需要进行更改，完成设置后，点击“下一步”。
6、确认信息无误后，点击最下方的“创建账号”按钮即可完成注册，谷歌邮箱账号和密码就已经创建成功。
由于谷歌邮箱在国内可能无法正常使用，建议了解当地的互联网政策和法规，并确保遵守相关规定，为了保障账号安全，请定期更新密码并妥善保管账号信息。